9.1 Quantelung der Energie

Quelle: Themenpool §9 · Mitschrift §6.1.1

Planck (1900) entdeckte: Energie ist quantisiert — sie wird nicht stetig, sondern in diskreten Portionen ausgetauscht.

$$\boxed{{\displaystyle E=h\cdot f}}$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
$E$	Energie eines Quants	J
$h$	Planck-Konstante $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$	Js
$f$	Frequenz der Strahlung	Hz

Warum kam Planck auf die Quantelung? — Das Problem des „Schwarzen Körpers"

Vor 1900 stand die Physik vor einem konkreten Rätsel. Ein Schwarzer Körper ist ein idealer Körper, der alle auftreffende Strahlung schluckt (nichts reflektiert) und beim Erhitzen ein Strahlungsspektrum aussendet, das nur von der Temperatur abhängt (eine glühende Herdplatte oder ein Ofenloch kommt dem nahe).

Die Frage war: Wie verteilt sich die abgestrahlte Energie auf die Frequenzen?

1. Die klassische Physik behandelte das Strahlungsfeld als stehende Wellen in einem Hohlraum und gab jeder Welle nach dem Gleichverteilungssatz (klassischer Satz, der jedem Freiheitsgrad bzw. jeder Schwingungsmode im Mittel den gleichen Energiebetrag zuweist) dieselbe mittlere Energie.
2. Zu hohen Frequenzen hin gibt es aber immer mehr mögliche stehende Wellen. Wenn jede gleich viel Energie bekommt, müsste die abgestrahlte Energie zu hohen Frequenzen hin ins Unendliche wachsen.
3. Das hieße: Jeder warme Körper würde unendlich viel Energie im Ultravioletten abstrahlen — offensichtlich falsch (man nannte es später die „Ultraviolett-Katastrophe"). ✎ „Katastrophe" meint hier den Widerspruch zwischen Theorie (unendliche Energie) und Beobachtung (endliche, mit einem Maximum).
4. Plancks Ausweg (1900): Energie kann nicht in beliebig kleinen Mengen mit den Wänden ausgetauscht werden, sondern nur in ganzzahligen Vielfachen einer kleinsten Portion $E=hf$:

$$E_n=n\cdot h\cdot f,n=0,1,2,3,\dots$$

$n\dots$ ganze Zahl (Anzahl der Energiequanten); $h\dots$ Planck-Konstante; $f\dots$ Frequenz.

5. Warum das die Katastrophe heilt: Eine hochfrequente Welle hat eine große kleinste Portion $hf$. Um überhaupt angeregt zu werden, müsste sie diese ganze große Portion auf einmal bekommen — bei begrenzter Gesamtenergie ist das unwahrscheinlich. Die hohen Frequenzen werden also „eingefroren" und tragen kaum bei. Damit fällt das Spektrum zu hohen Frequenzen hin ab — genau wie gemessen.

Die Quantelung ist also keine Willkür, sondern die einzige Annahme, die das gemessene Strahlungsspektrum reproduziert.

✎ Planck glaubte zunächst nicht an seine Formel (er sah sie als reinen Rechentrick zur Erklärung der Schwarzkörperstrahlung, nicht als Aussage über die Natur des Lichts). Einstein nahm sie ernst und postulierte 1905: Licht besteht aus Photonen — Quantenteilchen der Energie $hf$. Der Unterschied ist tiefgreifend: Bei Planck wurde nur der Austausch gequantelt (die Wände geben Energie portionsweise ab); bei Einstein ist das Licht selbst in Portionen vorhanden, auch im freien Flug. Damit beginnt die Quantenphysik. (Die ganze Geschichte des Streits „Welle vs. Teilchen" in Thema 13.)

✎ Alle Photonen breiten sich im Vakuum mit derselben Geschwindigkeit $c_0\approx 3\times {10}^8$ m/s aus — unabhängig von ihrer Frequenz/Wellenlänge, von der Lichtquelle und vom Beobachter. Diese Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist der Grundpfeiler der speziellen Relativitätstheorie.